직관의 배신: 몬티 홀 문제

몬티 홀 문제(Monty Hall Problem)을 아시나요?

 여러분이 퀴즈 쇼에 출연했다고 합시다. 거기서 세 문 중 하나를 선택할 수 있습니다. 한 문 뒤에는 자동차 경품이 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있습니다. 여러분은 한 문을 고릅니다. 그게 1번 문이라고 해보죠. 그 후 그 쇼의 MC(이 사람은 어떤 문 뒤에 차가 있는지 알고 있습니다.)가 염소가 있는 한 문(3번 문이라 하죠)을 열어 보여줍니다. 그리고 "2번 문으로 바꾸시겠습니까?"하고 묻습니다. 이때 바꾸는 게 유리할까요, 아니면 원래 선택을 고수하는 게 좋을까요?

몬티홀 모순이라고도 알려진 이 문제의 Monty Hall은 "Let's make a deal"이라는 미국 TV 게임 쇼 MC의 이름에서 유래하였습니다. 얼핏 생각하면 어느 쪽이든 상관없을 것 같습니다. 어차피 같은 확률일 거라는 거죠.

답은 직관에 반하게도, 선택을 바꾸는 것이 두 배 유리하다 입니다. 처음 이 문제와 그 해답이 한 잡지에 실렸을 때 박사 학위 소유자 1,000명을 포함하여 총 10,000에 가까운 독자가 그 답이 틀렸다고 주장하는 편지를 보냈습니다. 제가 이 문제를 처음 접한 이 블로그에 따르면 그중에는 아주 저명한 수학자도 있었습니다. 일반인들뿐만 아니라 전문가까지도 헷갈리게 하는 문제였던 거죠.

위키피디아에서 가져온 다음 그림을 보시면 왜 두 배 확률로 옮기는 것이 유리한지 알 수 있습니다.


 처음 선택이 자동차일 확률은 1/3이지만, 보시는 것처럼 선택을 나머지 문으로 바꿀 경우 그 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 2/3이 되는 것이죠. 이렇게 생각할 수도 있습니다. 처음 선택한 문을 제외한 나머지 두 문 중 하나가 자동차 문일 확률은 자명하게 2/3입니다. 그런데 자동차의 위치를 아는 MC가 뒤에 자동차가 없는 문 하나를 확실히 알려주었으니 나머지 한 문에 자동차가 있을 확률은 그대로 2/3인 것이죠. 이는 당연히 처음 선택한 문 뒤에 자동차가 있을 확률인 1/3보다 2배 높은 것이죠.

참으로 헷갈리는 확률의 세계입니다. ^^
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